题目内容
【题目】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）若AG=7、GF=3，求DF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）连接DE交AF于H，先根据DF=EG，DF∥EG，判定四边形DFEG是平行四边形，再根据GF⊥DE，即可得出四边形EFDG是菱形；
（2）根据条件得到FH=
GF=
，AF=10，再根据Rt△ADF中，DH⊥AF，运用射影定理即可得到DF2=FH×FA，进而得出DF的长．
试题解析： (1)如图，连接DE交AF于H，
由折叠可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，
∵EG∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴DF=EG，
∵DF∥EG，
∴四边形DFEG是平行四边形，
∵GF⊥DE，
∴四边形EFDG是菱形；
(2)∵四边形EFDG是菱形，
∴FH=
GF=
，
∵AG=7，GF=3，
∴AF=10，
∵Rt△ADF中，DH⊥AF，
∴DF2=FH×FA，
即DF=
=
.
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