Question

【题目】如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， ∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2 ， AS2=AP2﹣PS2 ，
∵AD=AD，PR=PS，
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D．
在△ARD和△ASD中，
，
所以△ARD≌△ASD．
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
所以AP垂直平分RS，故④正确．
所以答案是：①②④．

【考点精析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的相关知识点，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等才能正确解答此题．