题目内容
【题目】【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于点G,求证:△CDE≌△EGF.
(1)阅读理解,完成解答
本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;
(2)特殊位置,证明结论
若CE平分∠ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;
(3)知识迁移,探究发现
如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)
【答案】(1)证明过程见解析;(2)证明过程见解析;(3)AE=BF.
【解析】
试题分析:(1)先证明CE=EF,根据AAS即可证明△CDE≌△EGF;(2)先证∠ACE=∠2,再证明△ACE≌△BEF,即可得出AE=BF;(3)作EH⊥BC与H,设DE=x,求出AE=3x,再证出BF=x,即可得出结论.
试题解析:(1)∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠A=∠B=45°, ∵CD⊥AB, ∴∠CDB=90°,
∴∠DCB=45°, ∵∠ECF=∠DCB+∠1=45°+∠1,∠EFC=∠B+∠2=45°+∠2,∠1=∠2, ∴∠ECF=∠EFC,
∴CE=EF, ∵CD⊥AB,FG⊥AB, ∴∠CDE=∠EGF=90°,
在△CDE和△EGF中,,∴△CDE≌△EGF(AAS);
(2)由(1)得:CE=EF,∠A=∠B, ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠1, ∵∠1=∠2,∴∠ACE=∠2,
在△ACE和△BEF中,,∴△ACE≌△BEF(AAS),∴AE=BF;
(3)AE=BF,作EH⊥BC与H,如图3所示:
设DE=x,根据题意得:BE=DE=x,AD=BD=2x,CD=AD=2x,AE=3x, 根据勾股定理得:BC=AC=2x,
∵∠ABC=45°,EH⊥BC, ∴BH=x, ∴CH=BC﹣BH=x, ∵EC=EF, ∴FH=CH=x,
∴BF=x﹣x=x, ∴, ∴AE=BF.