题目内容

【题目】【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:

如图:已知在RtABC中,AC=BC,ACB=90°,CDAB于点D,点E、F分别在A和BC上,1=2,FGAB于点G,求证:CDE≌△EGF.

(1)阅读理解,完成解答

本题证明的思路可用下列框图表示:

根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;

(2)特殊位置,证明结论

若CE平分ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;

(3)知识迁移,探究发现

如图,已知在RtABC中,AC=BC,ACB=90°,CDAB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)

【答案】(1)证明过程见解析;(2)证明过程见解析;(3)AE=BF.

【解析】

试题分析:(1)先证明CE=EF,根据AAS即可证明CDE≌△EGF;(2)先证ACE=2,再证明ACE≌△BEF,即可得出AE=BF;(3)作EHBC与H,设DE=x,求出AE=3x,再证出BF=x,即可得出结论.

试题解析:(1)AC=BC,ACB=90° ∴∠A=B=45° CDAB, ∴∠CDB=90°

∴∠DCB=45° ∵∠ECF=DCB+1=45°+1,EFC=B+2=45°+2,1=2, ∴∠ECF=EFC,

CE=EF, CDAB,FGAB, ∴∠CDE=EGF=90°

CDE和EGF中,∴△CDE≌△EGF(AAS);

(2)由(1)得:CE=EF,A=B, CE平分ACD, ∴∠ACE=1, ∵∠1=2,∴∠ACE=2,

ACE和BEF中,∴△ACE≌△BEF(AAS),AE=BF;

(3)AE=BF,作EHBC与H,如图3所示:

设DE=x,根据题意得:BE=DE=x,AD=BD=2x,CD=AD=2x,AE=3x, 根据勾股定理得:BC=AC=2x,

∵∠ABC=45°,EHBC, BH=x, CH=BCBH=x, EC=EF, FH=CH=x,

BF=xx=x, AE=BF.

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