Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．

由（1）知△ADF∽△DEC，

∴ ，∴DE= = =12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= = =6

【解析】（1）由平行四边形得出两组对边分别平行证出AB∥CD，AD∥BC，得出∠ADF=∠DEC。及∠C+∠B=180°，再由∠AFE=∠B．证明∠AFD=∠C．可证得△ADF∽△DEC 。
（1）由△ADF∽△DEC，得出对应边成比例，即可求出DE的长，，再利用勾股定理求出AE的长。
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题．