Question

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为x，△POC的面积为S，S与x的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．
（1）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；
（2）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，
①求此抛物线W的解析式；
②若点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用当P点运动到A点时，△POC的面积为12，求出斜边AO可得出m的值，图1中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D（m，12），得出y_E=y_D=12，此时图1中点P运动到与点B重合，利用三角形面积求出OB的长，进而得出B点坐标，以及利用△ABM≌△CON得出C点坐标和利用勾股定理求出OF的长；
（2）①先求出点P的坐标，然后根据O、B可得出抛物线解析式；
②根据当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时，ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，分别分析得出即可．

解答：解：（1）根据图中得出：
∵当P点运动到A点时，△POC的面积为12，
∴AO=

22+32

=

13

，
∴m=

13

；
∵图1中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D（m，12），
∴y_E=y_D=12，此时图2中点P运动到与点B重合，
∵点B在x轴的正半轴上，
∴S_△POC=

1

2

×OB×|yC|=

1

2

×OB×3=12．
解得：OB=8，点B的坐标为（8，0）． 
此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N．
（如图2）．
∵点C的坐标为C（n，-3），
∴点C在直线y=-3上．
又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上，
∴点C是直线y=-3与直线l的交点，且∠ABM=∠CON．
又∵|y_A|=|y_C|=3，即AM=CN，
可得△ABM≌△CON．
∴ON=BM=6，点C的坐标为C（6，-3）．
∵图2中 AB=

AM2+BM2

=

32+62

=3

5

．
∴图1中DE=3

5

，OF=2x_D+DE=2

13

+3

5

． 

（2）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．
（如图3）
∵O，B两点的坐标分别为O（0，0），B（8，0），
∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．由tan∠ABM=

AM

BM

=

3

6

=

PG

BG

，可得PG=2．
∴点P的坐标为P（4，2），
设抛物线W的解析式为y=ax（x-8）（a≠0）．
∵抛物线过点P（4，2），
∴4a（4-8）=2．
解得：a=-

1

8

，
∴抛物线W的解析式为y=-

1

8

x2+x．
②如图4．
i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时，
∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W 上，点P为抛物线W的顶点，
结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为Q₁（0，0）．
ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，可知BP的中点的坐标为（6，1），BP的中垂线的解析式为y=2x-11．
∴点Q₂的横坐标是方程-

1

8

x2+x=2x-11的解．
将该方程整理得：x²+8x-88=0．
解得x=-4±2

26

．
由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，结合图4可知点Q₂的横坐标为2

26

-4．
∴点Q₂的坐标是Q₂（2

26

-4，4

26

-19）． 
综上所述，符合题意的点Q的坐标是Q₁（0，0），Q₂（2

26

-4，4

26

-19）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及菱形性质和等腰梯形性质等知识，根据数形结合得出梯形面积进而得出B，C点的坐标是解题关键，难度较大．