题目内容

(2013•徐州模拟)已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A、C两点的坐标分别为A(4,2),C(n,-2)(其中n>0),点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发,在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动,当点P与点C重合时停止运动.设点P移动的路径的长为l,△POC的面积为S,S与l的函数关系的图象如图2所示,其中四边形ODEF是等腰梯形.
(1)结合以上信息及图2填空:图2中的m=
2
5
2
5

(2)求B、C两点的坐标及图2中OF的长;
(3)若OM是∠AOB的角平分线,且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动点,直接写出HG+AH的最小值,请在图3中画出示意图并简述理由.
分析:(1)由四边形ODEF是等腰梯形,易得四边形OABC是平行四边形,由图2可得S△AOC=8,连接AC交x轴于R点,易得OR=4,由勾股定理可求得OA的值,即m的值;
(2)由OB=2RO=8,AR⊥OB,即可求得B、C两点的坐标,易证得平行四边形OABC是菱形,则可得OF=3OA;
(3)在OB上找一点N使ON=OG,连接NH,易证得△GOH≌△NOH,则可得GH+AH=AH+HN,根据垂线段最短可知:当AN是点A到OB的垂线段时,且H点是AN与OM的交点,继而求得答案.
解答:解:(1)如图1,∵四边形ODEF是等腰梯形,
∴OA=BC且OA∥BC,
∴四边形OABC是平行四边形,
由已知可得:S△AOC=8,连接AC交x轴于R点,
又∵A(4,2),C(n,-2),
∴S△AOC=S△AOR+S△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8,
∴OR=4,
∴m=OA=
OR2+AR2
=
42+22
=2
5

故答案为:2
5


(2)∵OB=2RO=8,CR=AR=2,AR⊥OB,
∴B(8,0),C(4,-2)且平行四边形OABC是菱形,
∴OF=3AO=3×2
5
=6
5


(3)如图3,在OB上找一点N使ON=OG,连接NH,
∵OM平分∠AOB,
∴∠AOM=∠BOM,
在△GOH和△NOH中,
ON=OG
∠GOH=∠NOH
OH=OH

∴△GOH≌△NOH(SAS),
∴GH=NH,
∴GH+AH=AH+HN=AN,
根据垂线段最短可知:当AN是点A到OB的垂线段时,且H点是AN与OM的交点,
∴GH+AH的最小值为2.
点评:此题等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及最短路径问题.此题难度较大,注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键.
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