Question

已知：如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值；
（3）在（2）的条件下，当1＜x＜2时，求y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形可以得出∠A=∠B=90°，由EF⊥DE可以得出∠DEF=90°，从而可以证明∠AED=∠BFE，从而可以证明△ADE∽△BEF；
（2）由（1）可以得出

AD

BE

=

AE

BF

，再由正方形的边长为4，AE=x，BF=y代入比例式就可以把y的解析式表示出来，化成顶点式就可以求出其最值．
（3）将x的取值范围代入（2）的解析式就可以求出y的范围．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°．
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEF=∠ADE．
∴△ADE∽△BEF．
（2）∵△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

．
即AD．BF=BE．AE．
∵AD=AB=4，AE=x，BF=y，
∴BE=4-x．
∴4y=（4-x）x，
即y=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1，
∴当x=2时，y的最大值为1．
（3）当x=1时，y=

3

4

，
当x=2时，y=1，
当1＜x＜2时，

3

4

＜y＜1．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和相似三角形的性质以及二次函数的最值和函数值的取值范围．本题难度较大，综合能力较强．