Question

已知二次函数y=-

1

4

x2+

3

2

x的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴公式求出x=-

b

2a

，求出即可；
（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；
（3）由抛物线的解析式y=-

1

4

x2+

3

2

x+4可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．

解答：解：（1）由y=-

1

4

x2+

3

2

x，
得x=-

b

2a

=-

3 2

2×(- 1 4 )

=3，
∴D（3，0）；

（2）方法一：
如图1，设平移后的抛物线的解析式为y=-

1

4

x2+

3

2

x+k，
则C（0，k）OC=k，
令y=0即-

1

4

x2+

3

2

x+k=0，
得x1=3+

4k+9

，x₂=3-

4k+9

，
∴A(3-

4k+9

，0)，B(3+

4k+9

，0)，
∴AB2=(

4k+9

+3-3+

4k+9

)2=16k+36，
AC2+BC2=k2+(3-

4k+9

)2+k2+(3+

4k+9

)2=2k²+8k+36，
∵AC²+BC²=AB²
即：2k²+8k+36=16k+36，
得k₁=4，k₂=0（舍去），
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

x2+

3

2

x+4，

方法二：
∵y=-

1

4

x2+

3

2

x，∴顶点坐标(3，

9

4

)，
设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标M(3，

9

4

+h)，
∴平移后的抛物线：y=-

1

4

(x-3)2+

9

4

+h，
当y=0时，-

1

4

(x-3)2+

9

4

+h=0，得x1=3-

4h+9

，x₂=3+

4h+9

，
∴A(3-

4h+9

，0)，B(3+

4h+9

，0)，
∵∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，则OC²=OA•OB（6分），
即h2=(

4h+9

-3)(

4h+9

+3)，
解得h₁=4，h₂=0（不合题意舍去），
∴平移后的抛物线：y=-

1

4

(x-3)2+

9

4

+4=-

1

4

(x-3)2+

25

4

；

（3）方法一：
如图2，由抛物线的解析式y=-

1

4

x2+

3

2

x+4可得，
A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M(3，

25

4

)，
过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，
∴DM2=(

25

4

)2=

625

16

，
CM2=MH2+CH2=32+(

25

4

-4)2=

225

16

，
在Rt△COD中，CD=

32+42

=5=AD，
∴点C在⊙D上，
∵DM2=(

25

4

)2=

625

16

CD2+CM2=52+

225

16

=(

25

4

)2=

625

16

，
∴DM²=CM²+CD²
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直线CM与⊙D相切．

方法二：
如图3，由抛物线的解析式可得A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M(3，

25

4

)，
作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，DM=

25

4

，由勾股定理得CM=

15

4

，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽Rt△DME，
∴

DE

MH

=

MD

CM

得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．
∴直线CM与⊙D相切．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及逆定理的应用，利用数形结合得出是解决问题的关键．