题目内容
【题目】已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数解析式为
;（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．理由见解析；（3）当点M的坐标分别为（﹣2，
），（﹣1，
）时，△MCK为等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵l1⊥l2，
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°，
又∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO,又∠COA=∠BOC=90°
∴△BOC∽△COA，
∴
，
即
，
∴
，
∴点C的坐标是（0，），
由题意，可设抛物线的函数解析式为
，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，
得
，
解这个方程组，得
，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
理由如下：
可求得直线l1的解析式为
，直线l2的解析式为
，
抛物线的对称轴为直线x=-1，
由此可求得点K的坐标为（﹣1，
），
点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，
），点F的坐标为（﹣1，0），
∴KD=，DE=，EF=，
∴KD=DE=EF．
（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．
理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），
又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），
（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，
∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，），
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．
