Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得△ADM是正三角形，则△ADM的面积是

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：补成正方形，相当于正方形中的内接正三角形，毫无疑问有：△ABM≌△AED，△CDM为等腰直角三角形，设MB=x，由勾股定理可得x的值，继而求得答案．

解答：解：过A点作AE⊥CD交CD的延长线于E．
∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，
∴四边形ABCE是正方形．
∵△ADM是正三角形，
∴AD=AM，∠E=∠B=90°，AE=AB，
在Rt△ABM和Rt△AED中，

AM=AD AB=AE

，
∴Rt△ABM≌Rt△AED（HL），
∴∠ADE=∠AMB，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
设MB=x，则ED=x，CD=CM=10-x．
∴AM=DM=

2

CD=

2

（10-x），
在Rt△ABM中，MB²+AB²=AM²，
∴10²+x²=2（10-x）²
解得x=20-10

3

，x=20+10

3

（不合题意舍去），
∴MB=20-10

3

，CD=10

3

-10，
∴S_△ADM=S_{正方形ABCE}-2S_△ABM-S_△CDM=100-2×

1

2

×10×（20-10

3

）-

1

2

（10

3

-10）²=200

3

-300．
故答案为：200

3

-300．

点评：本题考查了正方形、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．