题目内容
已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD=
(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD=
(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
分析:(1)a=b=3,且∠ACB=60°,△ABC是等边三角形,且CD是等边三角形的高线的2倍,据此即可求解;
(2)a=b=6,且∠ACB=90°,△ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差;
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.
(2)a=b=6,且∠ACB=90°,△ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差;
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.
解答:解:(1)∵a=b=3,且∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴OC=
,
∴CD=3
;(1分)
(2)3
-3
;(2分)
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,
则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,
∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a,
∴△CDE为等边三角形,
∴CE=CD.(4分)
当点E、A、C不在一条直线上时,
有CD=CE<AE+AC=a+b;
当点E、A、C在一条直线上时,
CD有最大值,CD=CE=a+b;
只有当∠ACB=120°时,∠CAE=180°,
即A、C、E在一条直线上,此时AE最大
∴∠ACB=120°,(7分)
因此当∠ACB=120°时,
CD有最大值是a+b.
∴△ABC是等边三角形,
∴OC=
3
| ||
2 |
∴CD=3
3 |
(2)3
6 |
2 |
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,
则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,
∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a,
∴△CDE为等边三角形,
∴CE=CD.(4分)
当点E、A、C不在一条直线上时,
有CD=CE<AE+AC=a+b;
当点E、A、C在一条直线上时,
CD有最大值,CD=CE=a+b;
只有当∠ACB=120°时,∠CAE=180°,
即A、C、E在一条直线上,此时AE最大
∴∠ACB=120°,(7分)
因此当∠ACB=120°时,
CD有最大值是a+b.
点评:本题主要考查了等边三角形的性质,以及轴对称的性质,正确理解CD有最大值的条件,是解题的关键.
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