题目内容
【题目】如图，△ABC是一块等边三角形的废铁片，其中AB=AC=10
，BC=12．利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F． G分别落在AC、AB上．
（1）小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．请你帮小聪求出正方形的边长．
（2）小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图2作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于点F；
③过点F作FE∥F′E′交BC于点E，FG∥F′G′交AB于点G，GD∥G′D′交BC于点D，则四边形DEFG即为所求的正方形．你认为小明的作法正确吗？说明理由．
【答案】（1）
；（2）正确，理由见解析
【解析】
（1）设正方形的边长为
，作
的高
，可以求出的长，然后根据
利用其对应边成比例可以列出关于的方程，然后求出，也就求出了正方形边长；
（2）首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形
，利用作法中的平行线可以得到比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了．
解：（1）设正方形的边长为，作的高，
等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
解之得：
，
正方形的边长为；
（2）正确，
由已知可知，四边形
为矩形，
，
△
，
，
同理
，
又
，
矩形为正方形．
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