题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角,得到矩形A'B'C'D',B'C与AD交于点E,AD的延长线与A'D'交于点F.
(1)如图①,当α=60°时,连接DD',求DD'和A'F的长;
(2)如图②,当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时,求EF的长;
(3)如图③,当AE=EF时,连接AC,CF,求ACCF的值.
【答案】(1)DD′=3,A′F= 4﹣;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)①如图①中,∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角,得到矩形A'B'C'D',只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题;
②如图①中,连接CF,在Rt△CD′F中,求出FD′即可解决问题;
(2)由△A′DF∽△A′D′C,可推出DF的长,同理可得△CDE∽△CB′A′,可求出DE的长,即可解决问题;
(3)如图③中,作FG⊥CB′于G,由S△ACF=ACCF=AFCD,把问题转化为求AFCD,只要证明∠ACF=90°,证明△CAD∽△FAC,即可解决问题;
试题解析:(1)①如图①中,∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角,得到矩形A'B'C'D',∴A′D′=AD=B′C=BC=4,CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°,∵α=60°,∴∠DCD′=60°,∴△CDD′是等边三角形,∴DD′=CD=3.
②如图①中,连接CF.∵CD=CD′,CF=CF,∠CDF=∠CD′F=90°,∴△CDF≌△CD′F,∴∠DCF=∠D′CF=∠DCD′=30°,在Rt△CD′F中,∵tan∠D′CF=,∴D′F=,∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣.
(2)如图②中,在Rt△A′CD′中,∵∠D′=90°,∴A′C2=A′D′2+CD′2,∴A′C=5,A′D=2,∵∠DA′F=∠CA′D′,∠A′DF=∠D′=90°,∴△A′DF∽△A′D′C,∴,∴,∴DF=,同理可得△CDE∽△CB′A′,∴,∴,∴ED=,∴EF=ED+DF=.
(3)如图③中,作FG⊥CB′于G.,∵四边形A′B′CD′是矩形,∴GF=CD′=CD=3,∵S△CEF=EFDC=CEFG,∴CE=EF,∵AE=EF,∴AE=EF=CE,∴∠ACF=90°,∵∠ADC=∠ACF,∠CAD=∠FAC,∴△CAD∽△FAC,∴,∴AC2=ADAF,∴AF=,∵S△ACF=ACCF=AFCD,∴ACCF=AFCD=.