Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是△ACD内一点，连接PA、PC、PD，若PA＝5，PD＝12，PC＝13，则ACBD＝_____．

Answer 1

【答案】180+169．

【解析】

将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AP′，连接PP′，想办法证明∠APE=30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．

将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AP′，连接PP′，作AE⊥BP交BP延长于E．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，

∵AP′=AP，∠P′AP=60°，

∴△AP′P是等边三角形，

∴AP′=AP=PP′=5，

∵∠P′AP=∠BAC，

∴∠P′AB=∠PAC，

∴△P′AB≌△PAC(SAS)，

∴BP′=PC=13，

∵P′P2+PB2=52+122=169，P′B2=132=169，

∴P′P2+PB2=P′B2，

∴∠P′PB=90°，

∵∠APP′=60°，

∴∠APB=150°，∠APE=180°﹣150°=30°，

在Rt△APE中，AP=5，∠APE=30°，

∴AE=AP=，PE=cos30°×AP=，

∴AB2=AE2+BE2=()2+(12+)2=169+60，

∴S△ABC=×ABAB=45+，

又∵S菱形ABCD=2S△ABC=ACBD，

∴ACBD=4S△ABC=180+169，

故答案为：180+169．