题目内容
如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图3）．已知AB=6，AD=8．
（1）如图3，当α=______度时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，此时该矩形的周长是______；
（2）如图2，当旋转后的矩形落在弓形内的部分是直角梯形时，设A2D2、B2C2分别与AD相交于点为E、F，求证：A2F=DF，AE=B2E；
（3）在旋转过程中，设旋转后的矩形落在弓形AD内的部分为三角形、直角梯形、矩形时所对应的周长分别是cl、c2、c3，圆O的半径为R，当c1+c2+c3=5R时，求c1的值；
（4）如图1，设旋转后A1B1、A1D1与AD分别相交于点M、N，当旋转到△A1MN正好是等腰三角形时，判断圆O的直径与△A1MN周长的大小关系，并说明理由．
（1）如图3，当α=______度时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，此时该矩形的周长是______；
（2）如图2，当旋转后的矩形落在弓形内的部分是直角梯形时，设A2D2、B2C2分别与AD相交于点为E、F，求证：A2F=DF，AE=B2E；
（3）在旋转过程中，设旋转后的矩形落在弓形AD内的部分为三角形、直角梯形、矩形时所对应的周长分别是cl、c2、c3，圆O的半径为R，当c1+c2+c3=5R时，求c1的值；
（4）如图1，设旋转后A1B1、A1D1与AD分别相交于点M、N，当旋转到△A1MN正好是等腰三角形时，判断圆O的直径与△A1MN周长的大小关系，并说明理由．
（1）当α=90°时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，
此时该矩形的周长是6×2+（8-6）=14．
（2）①如图，连接A2D，
∵
=
，
∴∠ADA2=∠DA2D2；
∴A2F=DF．
②如图，连接AB2∵AD=B2C2，
∴
=
；
∴
-
=
-
；
∴
=
；
∴∠AB2C2=∠DAB2；
∴AE=B2E．
（3）由（1）（2）得C2=8，C3=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
当C1+C2+C3=5R时，C1=9；
（4）如图，设A1B1交AB于P，A1M=a，AM=b，
∵△A1MN正好是等腰三角形，∠A1=90°，
∴∠A1NM=∠A1MN=∠AMP=45°；
∴MN=
=
a，
∴AD=AM+MN+ND=b+
a+a=8…（一）；
同（1）①可证AP=B1P；
∴A1B1=A1M+MP+PB1=a+
b+b=6…（二）；
（二）-（一）得：
a-
b=2；
∴a-b=
，即A1M-AM=
；
∴△A1MN的周长=AD+
=8+
；
而⊙O的直径为10，
∴⊙O的直径与△A1MN的周长差为10-（8+
）=2-
＞0；
∴⊙O的直径大于△A1MN的周长．
此时该矩形的周长是6×2+（8-6）=14．
（2）①如图，连接A2D，
∵
 |
| AA2 |
|
| DD2 |
∴∠ADA2=∠DA2D2；
∴A2F=DF．
②如图，连接AB2∵AD=B2C2，
∴
|
| AD |
|
| B2C2 |
∴
|
| AD |
|
| AB2 |
|
| B2C2 |
|
| AB2 |
∴
|
| DB2 |
|
| AC2 |
∴∠AB2C2=∠DAB2；
∴AE=B2E．
（3）由（1）（2）得C2=8，C3=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
当C1+C2+C3=5R时，C1=9；
（4）如图，设A1B1交AB于P，A1M=a，AM=b，
∵△A1MN正好是等腰三角形，∠A1=90°，
∴∠A1NM=∠A1MN=∠AMP=45°；
∴MN=
| a2+a2 |
| 2 |
∴AD=AM+MN+ND=b+
| 2 |
同（1）①可证AP=B1P；
∴A1B1=A1M+MP+PB1=a+
| 2 |
（二）-（一）得：
| 2 |
| 2 |
∴a-b=
| 2 |
| 2 |
∴△A1MN的周长=AD+
| 2 |
| 2 |
而⊙O的直径为10，
∴⊙O的直径与△A1MN的周长差为10-（8+
| 2 |
| 2 |
∴⊙O的直径大于△A1MN的周长．
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