Question

如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S_△ONC=S_△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，而OC=OA，则NC=AM，在根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，所以确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；根据S_△OND=S_△OAM=k和S_△OND+S_{四边形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，即可得到S_{四边形DAMN}=S_△OMN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x-x=（-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x²=2+，所以ON²=（x）²=4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．
解答：解：∵点M、N都在y=的图象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正确；
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，所以②错误；
∵S_△OND=S_△OAM=k，
而S_△OND+S_{四边形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN²=NE²+EM²，即2²=x²+[（-1）x]²，
∴x²=2+，
∴ON²=（x）²=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-）²=4+2，解得a₁=+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C点坐标为（0，+1），所以④正确．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．