题目内容

已知:在△ABC中,∠CAB=,且,AP平分∠CAB.
【小题1】如图1,若,∠ABC=32°,且AP交BC于点P,试探究线段
AB,AC与PB之间的数量关系,并对你的结论加以证明;
答:线段AB,AC与PB之间的数量关系为:___________________________.

【小题2】如图2,若∠ABC=,点P在△ABC的内部,且使∠CBP=30°,
求∠APC的度数(用含的代数式表示)

【小题1】AB-AC= AB-AD=DB=PB
【小题2】∠APC=120°+∠APC=120°+解析:
解:(1) AB-AC= PB;  
证明:在AB上截取AD,使AD=AC.(如图7)
∵AP平分∠CAB,
∴∠1=∠2.
在△ACP和△ADP中,
                 AC =AD,
∠1 =∠2,
AP=AP,
∴△ACP≌△ADP.  
∴∠C =∠3.
∵△ABC中,∠CAB=="2×21°=42°" ,∠ABC=32°,
∴∠C =180°-∠CAB-∠ABC =180°-42°-32° = 106°.
∴∠3 =106°.
∴∠4 =180°-∠3=180°-106°=74°,
∠5 =∠3-∠ABC=106°-32°=74°.
∴∠4 =∠5.
∴PB=DB.
∴AB-AC= AB-AD=DB=PB. 
(2)方法一:延长AC至M,使AM=AB,连接PM,BM.(如图8) 

∵AP平分∠CAB,∠CAB=
∴∠1=∠2==
在△AMP和△ABP中,
            AM =AB,
∠1 =∠2,
AP=AP,
∴△AMP≌△ABP.  
∴PM=PB,∠3 =∠4.  
∵∠ABC=60°-,∠CBP=30°,
∴∠4=(60°-)-30° =30°-
∴∠3 =∠4 =30°-.  ∵△AMB中,AM=AB,
∴∠AMB="∠ABM" =(180°-∠MAB)÷2 =(180°-)÷2 =90°-
∴∠5=∠AMB-∠3= (90°-)-(30°-)=60°.
∴△PMB为等边三角形.  
∵∠6=∠ABM-∠ABC = (90°-)-(60°-)=30°,
∴∠6=∠CBP.
∴BC平分∠PBM.
∴BC垂直平分PM.
∴CP=CM.
∴∠7 =∠3 = 30°-
∴∠ACP=∠7+∠3=(30°-)+(30°-)=60°-
∴△ACP中,∠APC=180°-∠1-∠ACP
=180°--(60°-)
=120°+.  
方法二:在AB上截取AM,使AM=AC,连接PM,延长AP交BC于N,连接MN.(如图9) 

∵AP平分∠CAB,∠CAB=
∴∠1=∠2==
在△ACN和△AMN中,
            AC =AM,
∠1 =∠2,
AN=AN,
∴△ACN≌△AMN.  
∴∠3 =∠4.  
∵∠ABC=60°-
∴∠3=∠2+∠NBA=+(60°-) =60°.
∴∠3 =∠4 =60°.
∴∠5=180°-∠3-∠4=180°-60°-60°=60°.
∴∠4 =∠5.   -∴NM平分∠PNB.
∵∠CBP=30°,
∴∠6=∠3-∠NBP=60°-30°=30°.
∴∠6=∠NBP.
∴NP=NB.
∴NM垂直平分PB.
∴MP=MB.
∴∠7 =∠8.
∴∠6+∠7 =∠NBP+∠8,
即∠NPM=∠NBM =60°-.   ∴∠APM=180°-∠NPM =180°-(60°-)=120°+
在△ACP和△AMP中,
            AC =AM,
∠1 =∠2,
AP=AP,
∴△ACP≌△AMP.  
∴∠APC=∠APM . 
∴∠APC=120°+
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网