题目内容

如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂．照此规律作下去，S₂₀₁₂=

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S₁的值，进而可得出S₂的值，找出规律即可得出S₂₀₁₂的值．
解答：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=AB•sinA=1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF= $\text{[math]}$ ，
∴S₁= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
同理可得，S₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ；
…
∴S_n= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）^n-1；
∴S₂₀₁₂= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²⁰¹¹= $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．

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