Question

10．四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H，若AB=4，AE=$\sqrt{2}$时，则线段BH的长是（　　）

• A． $4\sqrt{2}$
• B． 16
• C． $\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 连结GE交AD于点N，连结DE，由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=$\sqrt{2}$可得到AN=GN=1，所以DN=4-1=3，然后根据勾股定理可计算出DG=$\sqrt{10}$，则BE=$\sqrt{10}$，解着利用S_△DEG=$\frac{1}{2}$GE•ND=$\frac{1}{2}$DG•HE可计算出HE，所以BH=BE+HE．

解答 解：连结GE交AD于点N，连结DE，如图，

∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，
∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=$\sqrt{2}$，
∴AN=GN=1，
∴DN=4-1=3，
在Rt△DNG中，DG=$\sqrt{D{N}^{2}+G{N}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AGD，
∴DG=BE=$\sqrt{10}$，
∵S_△DEG=$\frac{1}{2}$GE•ND=$\frac{1}{2}$DG•HE，
∴HE=$\frac{6}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴BH=BE+HE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$+$\sqrt{10}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了旋转及正方形的性质，解题的关键是会运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．