Question

（2013•莆田质检）已知：抛物线y=

1

4

x2+1的顶点为M，直线l过点F（0，2）且与抛物线分别相交于A、B两点．过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
（1）如图：
①若A（-1，

5

4

），求证：AC=AF； 
②若A（m，n），判断以CD为直径的圆与直线l的位置关系．并加以证明．
（2）若直线l绕点F旋转，且与x轴交于点P，PC×PD=8．求直线l的解析式．

Answer 1

分析：（1）①利用勾股定理列式求出AF，即可得证；
②把A点坐标代入抛物线用m表示出n，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB的解析式，与抛物线联立求解得到点B的坐标，再利用勾股定理列式求出BF，得到BF=BD，过点B作BE⊥DF交x轴于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠EBF=∠EBD，再利用“边角边”证明△BEF和△BED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFE=∠BDE=90°，全等三角形对应边相等可得EF=ED，连接AE，利用“HL”证明△ACE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=CE，从而得到EF=

1

2

CD，然后根据直线与圆相切的定义解答；
（2）根据切割线定理可得PF²=PC•PD，再利用勾股定理列式求出OP的长，写出点P的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式分两种情况解答．

解答：（1）证明：①∵F（0，2），A（-1，

5

4

），
∴AF=

(-1-0)2+( 5 4 -2)2

=

5

4

，
又∵AC=

5

4

，
∴AC=AF；

②∵点A（m，n）在抛物线y=

1

4

x²+1，
∴n=

1

4

m²+1，
设直线AB得到解析式为y=kx+b（k≠0），
则

mk+b= 1 4 m2+1 b=2

，
解得

k= m 4 - 1 m b=2

，
∴直线AB的解析式为y=（

m

4

-

1

m

）x+2，
联立

y=( m 4 - 1 m )x+2 y= 1 4 x2+1

，
解得

x1=m y1= 1 4 m2+1

（为点A坐标），

x2=- 4 m y2= 4 m2 +1

，
∴点B坐标为（-

4

m

，

4

m2

+1），
由勾股定理得，BF=

(- 4 m -0)2+( 4 m2 +1-2)2

=

( 4 m2 +1)2

=

4

m2

+1，
∴BF=BD，
过点B作BE⊥DF交x轴于E，
则∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，

BF=BD ∠EBF=∠EBD BE=BE

，
∴△BEF≌△BED（SAS），
∴∠BFE=∠BDE=90°，EF=ED，
∴EF⊥直线l，
连接AE，
在△ACE和△AFE中，

AE=AE AC=AF

，
∴△ACE≌△AFE（HL），
∴EF=CE，
∴EF=

1

2

CD，
∴点E为以CD为直径的圆的圆心，以CD为直径的圆与直线l相切；

（2）解：由切割线定理，PF²=PC•PD，
∵PC•PD=8，
∴PF²=8，
∴PO=

PF2-OF2

=

8-22

=2，
∴点P的坐标为（2，0）或（-2，0），
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
当P（2，0）时，

2k+b=0 b=2

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，直线l的解析式为y=-x+2，
当P（-2，0）时，

-2k+b=0 b=2

，
解得

k=1 b=2

，
所以，直线l的解析式为y=x+2，
综上所述，直线l的解析式为y=-x+2或y=x+2．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，直线与圆的位置，切割线定理，本题难点在于（1）②作出EF并求出EF⊥直线l并且EF=

1

2

CD，（2）要注意分情况讨论．