Question

（2013•莆田质检）如图，一次函数y=-

1

3

x+2的图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P为线段AB上一点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=

k

y

(x＞0)的图象于点Q，且tan∠OAQ=

1

3

．连接OP、OQ，四边形OQAP的面积为6．
（1）求k的值；
（2）判断四边形OQAP的形状，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）连结AQ，先利用一次函数的解析式确定A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，2），根据正切的定义得tan∠BAO=

2

6

=

1

3

，则∠BAO=∠OQA，而PQ⊥OA，根据等腰三角形“三线合一”得到CP=CQ，再利用四边形OQAP的面积为6可计算出PQ=2，所以CQ=1，然后在Rt△CAQ中，利用正切的定义可得到AC=3，于是OC=3，这样可确定Q点坐标为（3，-1），最后把Q点坐标代入反比例函数解析式可计算出k的值；
（2）由于OC=AC=3，CP=CQ=1，PQ⊥AO，则可根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形进行判断．

解答：解：（1）连结AQ，如图，把x=0代入y=-

1

3

x+2得y=2；把y=0代入y=-

1

3

x+2得-

1

3

x+2=0，解得x=6，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，2），
∴tan∠BAO=

2

6

=

1

3

，
∵tan∠OAQ=

1

3

，
∴∠BAO=∠OQA，
∵PQ⊥OA，
∴CP=CQ，
∵四边形OQAP的面积为6，
∴

1

2

PQ•OA=6，即

1

2

PQ•6=6，
∴PQ=2，
∴CQ=1，
在Rt△CAQ中，tan∠CAQ=

CQ

CA

=

1

3

，
∴CA=3，
∴OC=6-3=3，
∴Q点坐标为（3，-1），
把Q（3，-1）代入y=

k

x

得k=3×（-1）=-3；

（2）四边形OQAP为菱形．理由如下：
∵OC=AC=3，CP=CQ=1，
而PQ⊥AO，
∴四边形OQAP为菱形．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的判定方法；熟练运用三角函数进行几何计算．