Question

如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
(1)(5分)求证：CG是⊙O的切线；
(2)(5分)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．

Answer 1

证明见解析

证明：(1)如图，连接OC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90⁰。
∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。 
∴∠CFG＝∠FCG。
又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。   
∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。
又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。 ∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即∠GCO=90°。
又∵OC是⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线。
(2)∵DG＝FG，∴。
∵DC＝CB，∴，∴。
又∵，∴。∴AF＝FC。
又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线。∴OF∥BC。
（1）连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC。
（2）根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论。