Question

阅读材料并回答问题：
（1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2；x₁x₂=1．方程3x²+4x-7=0的根为x₁=1，x₂=-，x₁+x₂=-，x₁x₂=-．方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根为x₁=，x₂=，
x₁+x₂=______，x₁x₂=______
（2）从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是______；
（3）用你发现的规律解答下列问题：
①不解方程，直接计算：方程x²-2x-1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁+x₂=______，x₁•x₂=______；
②方程x²-3x+1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁²+x₂²=______；
③已知一元二次方程x²-3x-3a=0的一个根为6，求a及方程的另一个根．

Answer 1

解：（1）-；．
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个根为x₁、x₂．
则x₁+x₂=-，x₁•x₂，=．
（3）①2；-．②7．
③另一根为x₂=3-6=-3；6×（-3）=-3a，解得a=6．
分析：（1）利用一元二次方程的求根公式，求出两根的和与积，即可得到答案．
（2）根据（1）得到两根得和与两根的积与系数的关系．
（3）利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是3，即可求得另一根，再根据两根的积是-3a，即可求得a的值．
点评：可利用根与系数的关系使问题简化，不必把方程的解代入求值．