Question

如图1，△ABC内接于半径为4cm的⊙O，AB为直径，长为．

（1）计算∠ABC的度数；
（2）将与△ABC全等的△FED如图2摆放，使两个三角形的对应边DF与AC有一部分重叠，△FED的最长边EF恰好经过的中点M．求证：AF=AB；

（3）设图2中以A、C、M为顶点的三角形面积为S，求出S的值．

Answer 1

（1）60°；（2）连结OM，过点F作于H，由AB为直径可得∠ACB=90°，即可求得∠A的度数，再根据含30°角的直角三角形的可得到，由点M为的中点可得OM⊥AB且OM =AB，再根据△ABC与△FED全等可得∠A=∠EFD=30°，即可证得结论；（3）

试题分析：（1）连结OC，先根据弧长公式求得∠BOC的度数，再结合圆的基本性质求解即可；
（2）连结OM，过点F作于H，由AB为直径可得∠ACB=90°，即可求得∠A的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得到，由点M为的中点可得OM⊥AB且OM =AB，再根据△ABC与△FED全等可得∠A=∠EFD=30°，即可证得结论；
（3）连结AM、CM，过点M作MN⊥AC于点N，先根据含30°角的直角三角形的性质求得AC的长，在Rt△AMO中，根据勾股定理可求得AM的长，设MN=x，由∠MCN==45°可得MN=NC=x，在Rt△AMN中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，最后根据三角形的面积公式求解即可.   
（1）连结OC

∵长为，⊙O的半径为4cm
∴，解得n=60，即∠BOC="60"
∵OB=OC  
∴∠ABC=∠OBC=；
（2）连结OM，过点F作于H

∵AB为直径   
∴∠ACB=90°  
∴∠A=180－90－60=30°
∴在Rt△FAH中，
∵点M为的中点   
∴OM⊥AB且OM=AB
∵△ABC与△FED全等  
∴∠A=∠EFD=30°
∴EF∥AB，OM=FH=AB
∴AF=AB；
（3）连结AM、CM，过点M作MN⊥AC于点N

在Rt△ABC中，AB=8，∠A=30° 
∴AC=4
在Rt△AMO中，
设MN="x" ，
∵∠MCN==45°   
∴MN=NC=x
在Rt△AMN中，   
即
解得，（舍去）
∴ 
∴．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.