题目内容
△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．
方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．
（2）①②都成立．
（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD
又∵CD=CB，
∴BE=CB．
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB
∴CD=CB．
方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30°．
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．
方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．
（2）①②都成立．
（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD
又∵CD=CB，
∴BE=CB．
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB
∴CD=CB．
方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30°．
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