题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.
（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；
（2）当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）连结BC,∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧AB的长=
;
（2）连结OD, ∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是AD的垂直平分线,
∴OD=OA=10, 在Rt△ODE中， OE=
,∴AE=AO－OE=10-6=4,
由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,
∴
,即
，∴EF=3；
（3）设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=
，∴E1（，0）；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，∴CF∥AB,有CF=
,∵△ECF∽△EAD,
∴
,即
,解得：
, ∴E2（
，0）;
②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE, ∴
,∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED, ∴
,而AD=2BE, ∴
,
即
, 解得
, 
＜0（舍去），∴E3（
，0）;
③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连结BE，得BE=
=AB，∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE,
∴, 又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED, ∴，
而AD=2BE, ∴, ∴
, 解得
, 
＜0（舍去）,∵点E在x轴负半轴上, ∴E4（
，0）,
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：
（，0）、
（，0）、
（，0）、
（，0）．
金钥匙试卷系列答案
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．