题目内容
【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．
【答案】（1）点C的坐标为（3，0）．
．（2）直线BC上不存在符合条件的点P，理由见解析（3）0≤|QA﹣QO|≤4．
【解析】
试题分析：（1）利用直线
分别求出点A、B的坐标，然后利用勾股定理或相似三角形的性质求出线段OC的长即可得到点C的坐标，然后利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用平行四边形的性质求出符合条件的点P的坐标，然后代入直线BC的解析式为y=﹣2x+6检验即可；（3）当QA=QO时，|QA﹣QO|的值最小=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大=4.
试题解析：（1）点C的坐标为（3，0）．
∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），
∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．
将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得
．
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．
（2）可得抛物线的对称轴为直线
，顶点D的坐标为
，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．
直线BC的解析式为y=﹣2x+6.
解法一：
如图，取OA的中点E，
作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．
则∠PEN=∠DEG，∠PNE=∠DGE，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由
，可得E点的坐标为（4，0）．
NE=EG=
，ON=OE﹣NE=
，NP=DG=
．
∴点P的坐标为
．
∵x=
时，
， ∴点P不在直线BC上．
∴直线BC上不存在符合条件的点P．
解法二：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，
连接AP，作PM⊥x轴于点M．
∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴
，
即
． 解得
． 经检验是原方程的解．
此时点P的坐标为
．
但此时
，OM＜GA．
∵
，
∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴直线BC上不存在符合条件的点P；
（3）|QA﹣QO|的取值范围是
．
当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），
此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，
当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，
直线AH的解析式为：y=﹣
x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，
联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，
∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．
