题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线
（
、
为常数）的顶点为
，等腰直角三角形
的顶点
的坐标为
，
的坐标为
，直角顶点
在第四象限．
（1）如图，若该抛物线经过、两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线
上滑动，且与交于另一点
．
①若点
在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；
②取
的中点
，连接
，
，求
的最大值．
【答案】（1）
；（2）①
，
，
，
；②
的最大值为
．
【解析】
（1）先求出点
的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）①首先求出直线
的解析式和线段
的长度，作为后续计算的基础．
若
为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
当为直角边时：点
到的距离为
．此时，将直线向右平移4个单位后所得直线
与抛物线的交点，即为所求之点；
当为斜边时：点到的距离为
．此时，将直线向右平移2个单位后所得直线
与抛物线的交点，即为所求之点．
②由①可知，
为定值，因此当
取最小值时，有最大值．
如答图2所示，作点关于直线的对称点
，由分析可知，当、
、
中点）三点共线时，最小，最小值为线段
的长度．
解：（1）
等腰直角三角形
的顶点
的坐标为
，
的坐标为
点的坐标为
．
抛物线过
，
两点，
，
解得：
，
，
抛物线的函数表达式为：．
（2）①
，
，
，
直线的解析式为：
．
设平移前抛物线的顶点为
，则由（1）可得的坐标为
，且在直线上．
点
在直线上滑动，
可设的坐标为
，
则平移后抛物线的函数表达式为：
．
解方程组：
，
解得
，
，
．
过点作
轴，过点作
轴，则
，
．
．
若以、、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
当为直角边时：点到的距离为（即为的长）．
由，，
可知，
为等腰直角三角形，且
，
．
如图1，过点作直线
，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线
的解析式为：
，
，
，
解得
，
直线的解析式为：
．
解方程组
，
得：
，
，．
当为斜边时：
，可求得点到的距离为．
如答图2，取
的中点
，则点的坐标为
．
由，
，可知：
为等腰直角三角形，且点到直线的距离为．
过点作直线
，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线
的解析式为：
，
，
，
解得
，
直线的解析式为：
．
解方程组
，
得：
，
，
，
，
．
综上所述，所有符合条件的点的坐标为：
，，
，，，．
②存在最大值．理由如下：
由①知为定值，则当取最小值时，有最大值．
如答图2，取点关于的对称点，易得点的坐标为
，
．
连接
，
，
，
易得
，且
，
四边形
为平行四边形．
．
．
当、、三点共线时，
最小，最小值为
．
的最大值为
．
【题目】如图1，
，
，
是郑州市二七区三个垃圾存放点，点，分别位于点的正北和正东方向，
米．八位环卫工人分别测得的
长度如下表：
甲 | 丁 | 丙 | 丁 | 戊 | 戌 | 申 | 辰 | |
| 84 | 76 | 78 | 82 | 70 | 84 | 86 | 80 |
他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列间不完整的统计图2．
（1）表中的中位数是 、众数是 ；
（2）求表中长度的平均数
；
（3）求处的垃圾量，并将图2补充完整；
（4）用（2）中的作为的长度，要将处的垃圾沿道路
都运到处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．
