题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3, ),点C的坐标为( ,0),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为
【答案】
【解析】解:作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,
∵DP=PA,
∴PA+PC=PD+PC=CD,
∵B(3, ),
∴AB= ,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:OB=2 ,
由三角形面积公式得: ×OA×AB= ×OB×AM,
∴AM= ,
∴AD=2× =3,
∵∠AMB=90°,∠B=60°,
∴∠BAM=30°,
∵∠BAO=90°,
∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,
∴∠NDA=30°,
∴AN= AD= ,由勾股定理得:DN= ,
∵C( ,0),
∴CN=3﹣ ﹣ =1,
在Rt△DNC中,由勾股定理得:DC= = ,
即PA+PC的最小值是 .
所以答案是: .
【考点精析】认真审题,首先需要了解轴对称-最短路线问题(已知起点结点,求最短路径;与确定起点相反,已知终点结点,求最短路径;已知起点和终点,求两结点之间的最短路径;求图中所有最短路径).
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