Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

(1)求m的值及抛物线的函数表达式；
(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M₁(x₁,y₁)，M₂(x₂,y₂)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．

Answer 1

（1），y=?x²+x+；（2）（1，3）；(3)存在，5.2 ，7.2；（4）是.

试题分析：（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
（2）确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；确定P点坐标P（1，3），从而直线M₁M₂的解析式可以表示为y=kx+3-k；
（3）存在， 设Q(x,－x²+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2，②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2从而求出Q点坐标.
（4）利用两点间的距离公式，分别求得线段M₁M₂、M₁P和M₂P的长度，相互比较即可得到结论：为定值．
试题解析：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），
∴0=?+m，解得m=，
∴直线解析式为y=x+，C（0，）．
∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
∵抛物线经过C（0，），
∴=a•3（-5），解得a=?，
∴抛物线解析式为y=?x²+x+；
（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，

连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC解析式为y=?x+，
∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．
(3) （3）存在  设Q(x, ?x²+x+)
①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2
②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2
∴Q的横坐标为5.2 ，7.2
(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，
则直线的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=?x²+x+，
联立化简得：x²+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．
∵y₁=kx₁+3-k，y₂=kx₂+3-k，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
根据两点间距离公式得到：

∴=4（1+k²）．
又
；
同理
∴


=4（1+k²）．
∴M₁P•M₂P=M₁M₂，
∴为定值．
考点: 二次函数综合题．