题目内容
【题目】(1)如图1,AB∥CD,∠PAB=120°,∠PCD=110°,求∠APC的度数.小颖同学的解题思路是:如图2,过点P作PE∥AB,请你接着完成解答;如图3,点A、B在射线OM上,点C、D在射线ON上,AD∥BC,点P在射线OM上运动(点P与A、B、O三点不重合).
(2)当点P在线段AB上运动时,判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系,并说明理由;
(3)当点P在线段AB外运动时,判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)∠APC=130°;(2)∠CPD=∠ADP+∠BCP;(3)∠CPD=∠ADP-∠BCP;∠CPD=∠BCP-∠ADP.
【解析】
(1)过P作PE∥AB,构造同旁内角,利用平行线性质,可得∠APC=130°;
(2)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠ADP =∠DPE,∠BCP =∠CPE,即可得出答案;
(3)画出图形(分两种情况:①点P在BA的延长线上,②点P在AB的延长线上),根据平行线的性质得出∠ADP =∠DPE,∠BCP=∠CPE,即可得出答案.
解:(1)过P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠APE=180°-∠PAB =60°,∠CPE=180°-∠PCD =70°,
∴∠APC=60°+70°=130°;
(2)∠CPD=∠ADP+∠BCP,理由如下:
如图3,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠ADP =∠DPE,∠BCP =∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠ADP+∠BCP;
(3)当P在BA延长线时,∠CPD=∠BCP-∠ADP;
理由:如图4,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠ADP =∠DPE,∠BCP =∠CPE,
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠BCP-∠ADP;
当P在BO之间时,∠CPD=∠ADP-∠BCP.
理由:如图5,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠ADP =∠DPE,∠BCP =∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠ADP-∠BCP.
故答案为:(1)∠APC=130°;(2)∠CPD=∠ADP+∠BCP;(3)当P在BA延长线时,∠CPD=∠BCP-∠ADP;当P在BO之间时,∠CPD=∠ADP-∠BCP.
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