题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形OACB的边OA,OB分别在x轴上和y轴上,线段OA=24,OB=12;点P从点O开始沿OA边匀速移动,点M从点B开始沿BO边匀速移动.如果点P,点M同时出发,它们移动的速度相同都是1个单位/秒,设经过x秒精英家教网时(0≤x≤12),△POM的面积为y.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)连接矩形的对角线AB,当x为何值时,以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的
18

(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM,试判断D点是否在直线AB上,请说明理由.
分析:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,用待定系数法即可求解;
(2)根据SOMP=
1
2
OM?OP
,即可求解;
(3)根据面积之间关系列出等式即可求解;
(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM,先求出D点坐标,看是否在直线y=-
1
2
x+12

上即可判断;
解答:解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
A点坐标为(24,0),B为(0,12),
把A、B两点的坐标代入上式,得:
24k+b=0
b=12

解得
k=-
1
2
b=12

∴y=-
1
2
x+12


(2)∵SOMP=
1
2
OM?OP

∴y=
1
2
(12-x)
•x
即y=-
1
2
x2+6x


(3)∵SAOB=
1
2
×OA?OB=144

1
8
SAOB=18,即y=18,
当-
1
2
x2+6x=18时

解得:x=6;

(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM,
当x=-
6
2×(-
1
2
)
=6时,S△POM=y有最大值.
此时OP=6,OM=12-x=6
∴△OMP是等腰直角三角形.
∵将△POM沿PM所在直线翻折后得到△POM.
∴四边形OPDM是正方形
∴D(6,6),
把D(6,6)代入y=-
1
2
x+12

x=6时,y=-
1
2
×6+12=9≠6
∴点D不在直线AB上.
点评:本题考查了二次函数的最值及矩形的性质,难度较大,关键是正确理解与把握题中给出的已知信息.
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