题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形OACB的边OA,OB分别在x轴上和y轴上,线段OA=24,OB=12;点P从点O开始沿OA边匀速移动,点M从点B开始沿BO边匀速移动.如果点P,点M同时出发,它们移动的速度相同都是1个单位/秒,设经过x秒时(0≤x≤12),△POM的面积为y.(1)求直线AB的解析式;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)连接矩形的对角线AB,当x为何值时,以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的
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(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM,试判断D点是否在直线AB上,请说明理由.
分析:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,用待定系数法即可求解;
(2)根据S△OMP=
OM?OP,即可求解;
(3)根据面积之间关系列出等式即可求解;
(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM,先求出D点坐标,看是否在直线y=-
x+12
上即可判断;
(2)根据S△OMP=
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(3)根据面积之间关系列出等式即可求解;
(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM,先求出D点坐标,看是否在直线y=-
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上即可判断;
解答:解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
A点坐标为(24,0),B为(0,12),
把A、B两点的坐标代入上式,得:
,
解得
,
∴y=-
x+12;
(2)∵S△OMP=
OM?OP,
∴y=
(12-x)•x
即y=-
x2+6x;
(3)∵S△AOB=
×OA?OB=144,
∴
S△AOB=18,即y=18,
当-
x2+6x=18时,
解得:x=6;
(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM,
当x=-
=6时,S△POM=y有最大值.
此时OP=6,OM=12-x=6
∴△OMP是等腰直角三角形.
∵将△POM沿PM所在直线翻折后得到△POM.
∴四边形OPDM是正方形
∴D(6,6),
把D(6,6)代入y=-
x+12
x=6时,y=-
×6+12=9≠6
∴点D不在直线AB上.
A点坐标为(24,0),B为(0,12),
把A、B两点的坐标代入上式,得:
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解得
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∴y=-
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(2)∵S△OMP=
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∴y=
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即y=-
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(3)∵S△AOB=
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2 |
∴
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当-
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2 |
解得:x=6;
(4)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM,
当x=-
6 | ||
2×(-
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此时OP=6,OM=12-x=6
∴△OMP是等腰直角三角形.
∵将△POM沿PM所在直线翻折后得到△POM.
∴四边形OPDM是正方形
∴D(6,6),
把D(6,6)代入y=-
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x=6时,y=-
1 |
2 |
∴点D不在直线AB上.
点评:本题考查了二次函数的最值及矩形的性质,难度较大,关键是正确理解与把握题中给出的已知信息.
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