题目内容

如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x²先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）²+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；
（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；
（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；
（3）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y=x²先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-1）²-4，
∴h=1，k=-4；
令y=0，即（x-1）²-4=0
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B （3，0），

（2）∵令x=0，得y=（0-1）²-4=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），点M的坐标为（1，-4）
∴BC=3 $\text{[math]}$ ，MC= $\text{[math]}$ ，BM=2 $\text{[math]}$
∴BC²+MC²=BM²
∴△BMC是直角三角形；
∴S= $\text{[math]}$ BC•CM= $\text{[math]}$ ×3 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =3；
（3）①如图（1），（2）当点G在y轴上时，
由△AOG≌△PHA，
得PH=OA，得y_P=x_A=-1，∴x²-2x-3=-1，
得x=1± $\text{[math]}$ ，∴P₁（1- $\text{[math]}$ ，-1），P₂（1+ $\text{[math]}$ ，-1）
②如图（3），当点F在y轴上时，由△AMP≌△FNP，
得PM=PN，得y_P=x_P，
则x²-2x-3=x，
得x= $\text{[math]}$ ，（x= $\text{[math]}$ 舍去），
故P₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

分析：（1）利用抛物线的平移规律即可求得h和k的值；然后令y=0即可求得与x轴的交点坐标；
（2）首先求得点C和点M的坐标，然后求得BC、CM及BM的长，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
（3）分别根据当点G在y轴上时和点F在y轴上时两种情况利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得点P的坐标即可．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是动点问题是本题中的难点，同时它也是中考的高频考点．