Question

已知：如图，边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上运动，但与A、C两点不重合，连接AD并延长交BC的延长结于P。 （1）则⊙O的半径为_________； （2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式y=_________，自变量x的取值范围为_________； （3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过O作OOE⊥于E，连接OA 在Rt△AEO中，∠EAO=30° AE= ∴ ∴OA=2 （2）连接CD，则∠ABC+∠ADC=180° 又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60° ∴∠ADC=∠ACP=120° 又∵∠CAD=∠PAC ∴△ADC∽△ACP ∴ ∴AC2=AD·AP ∴y==（0＜x＜2） （3）假设D点在运动的过程中存在这样的位置，使得△DBP成为以DB，DP为腰的等腰三角形，那么DB=DP ∵∠BDC=∠BAC=60°，∠CDP=∠ABC=60° ∴∠BDC=∠CDP ∵CD⊥BP ∴DB是圆的直径，BD=4，DP=4 ∵DP=AP﹣AD=y﹣x=﹣x=4 即x2+4x﹣12=0 ∵△=42﹣4 ×（﹣12）=64＞0 ∴关于x的方程x2+4x﹣12=0有两个不相等的实根，说明假设成立 ∴x1=2，x2=﹣6（线段不能为负，舍去） ∴D点在运动的过程中存在这样的位置：即当AD=2时，△BDP成为以BD，PD为腰的等腰三角形.