题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，过点
、
分别作
轴的垂线，垂足分别为
、
．
(1)求直线
和直线
的解析式；
(2)点
为直线上的一个动点，过作轴的垂线交直线于点
，是否存在这样的点，使得以、
、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若
沿方向平移(点在线段上，且不与点
重合)，在平移的过程中，设平移距离为
，与
重叠部分的面积记为
，试求与
的函数关系式．
【答案】（1）y=-x+4，y=
x；（2）m=
或
；（3）S=
.
【解析】
（1）理由待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设M（m，
），则N（m，-m+4）．当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，可得|-m+4-|=3，解方程即可；
（3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．根据S=S△OFQ-S△OEP=
OFFQ-OEPG计算即可.
解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有
，解得
，
∴直线CD的解析式为y=-x+4．
设直线OD的解析式为y=mx，则有3m=1，m=
，
∴直线OD的解析式为y=x.
（2）存在．
理由：如图1中，设M（m，），则N（m，-m+4）．
当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴|-m+4-|=3，
解得m=
或
.
（3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
因为平移距离为
t，所以水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），
则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，
），C′（1+t，3-t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．
∴E（
，0）．
联立y=3x-4t与y=
，解得x=
．
∴S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG
=（1+t）（）-
=
.
