题目内容

【题目】如图,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点D在AB上,点E与点C在AB的两侧,连接BE,CD,点M、N分别是BE、CD的中点,连接MN,AM,AN. 下列结论:①△ACD≌△ABE;②△ABC∽△AMN;③△AMN是等边三角形;④若点D是AB的中点,则SABC=2SABE
其中正确的结论是 . (填写所有正确结论的序号)

【答案】①②④
【解析】解:①在△ACD和△ABE中, ∵
∴△ACD≌△ABE(SAS),
所以①正确;②∵△ACD≌△ABE,
∴CD=BE,∠NCA=∠MBA,
又∵M,N分别为BE,CD的中点,
∴CN=BM,
在△ACN和△ABM中,

∴△ACN≌△ABM,
∴AN=AM,∠CAN∠BAM,
∴∠BAC=∠MAN,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,
∴∠ABC∠AMN,
∴△ABC∽△AMN,
所以②正确;③∵AN=AM,
∴△AMN为等腰三角形,
所以③不正确;④∵△ACN≌△ABM,
∴SACN=SABM
∵点M、N分别是BE、CD的中点,
∴SACD=2SACN , SABE=2SABM
∴SACD=SABE
∵D是AB的中点,
∴SABC=2SACD=2SABE
所以④正确;
本题正确的结论有:①②④;
所以答案是:①②④.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.

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