Question

（2012•泉港区质检）如图，点A在⊙O上，⊙O的直径为8，∠B=30°，∠C=90°，AC=8．将△ABC从AC与⊙O相切于点A的位置开始，绕着点A顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜120°），旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF．当BC与⊙O相切时，①旋转角β=

90

度；②△AEF的面积为

8

3

．

Answer 1

分析：根据切线的性质，可以判断当BC与⊙O相切时切点一定是C旋转以后的对应点C′，AC′是圆的直径，即可求得旋转角，进而可以确定△AEF的位置，即可求解△AEF的面积．

解答：解：设旋转以后BC与⊙O相切于点H，则连接OH，OA，则OH⊥BC，则OA=OH=4，AC=8，因而OA+OH=AC，
则H一定与C重合．
故当BC与⊙O相切时切点一定是C旋转以后的对应点C′，AC′是圆的直径．
E就是点C′，
∵AC是切线，
∴∠CAA′=90°，即β=90°．
在直角△AC′F中，∠FAC′=60°，则AF=

1

2

AC′=4，
FC′=

3

2

AC′=4

3

，
则△AFC′的面积即△AEF的面积等于：

1

2

AF•FC′=

1

2

×4×4

3

=8

3

．
故答案是：90，8

3

．

点评：本题考查了切线的性质，以及解直角三角形，正确判断当BC与圆相切时，切点的位置是关键．