题目内容
（2012•泉港区质检）如图，A、B的坐标分别为（8，4），（0，4）．点C从原点O出发以每秒1单位的速度沿着x轴的正方向运动，设运动时间为t（0＜t＜5）．点D在x轴上，坐标为（t+3，0），过点D作x轴的垂线交AB于E点，交OA于G点，连接CE交OA于点F．
（1）填空：CD=
（2）当△EFG的面积为
时，点G恰好在函数y=
第一象限的图象上．试求出函数y=
的解析式；
（3）设点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数y=
的图象上，是否存在以A、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点C、P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）填空：CD=
3
3
，CE=5
5
，AE=5-t
5-t
（用含t的代数式表示）；（2）当△EFG的面积为
| 12 |
| 5 |
| k |
| x |
| k |
| x |
（3）设点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数y=
| k |
| x |
分析：（1）由OC=t，OD=t+3，即可求出CD的长；先由矩形的性质得出DE=4，然后在直角△CDE中，运用勾股定理即可求出CE的长；先由矩形的性质得出BE=t+3，再由AB=8即可求出AE的长；
（2）过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=
EG•FH．先运用待定系数法求出直线OA的解析式，再将G点的横坐标（与D点的横坐标相等）代入，得到G点的纵坐标，求出EG的长；先由AE∥OC，得出△AEF∽△OCF，根据相似三角形对应边成比例列出等式AE：OC=EF：CF，得出EF=5-t，再由正弦函数的定义得出FH=EF•sin∠CED=
，然后根据△EFG的面积为
列出关于t的方程，解方程求出t的值，得到G点的坐标为（4，2），则运用待定系数法即可求出过G点的反比例函数的解析式；
（3）当以A、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，首先根据这四个点的位置及0＜t＜5，判断平行四边形可能是?APCQ或?APQC，再由平行四边形的对角线互相平分的性质得出两对角线的中点重合．设P（x，
），根据中点坐标公式列出关于x、t的方程组，解方程组即可．
（2）过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=
| 1 |
| 2 |
| 3(5-t) |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
（3）当以A、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，首先根据这四个点的位置及0＜t＜5，判断平行四边形可能是?APCQ或?APQC，再由平行四边形的对角线互相平分的性质得出两对角线的中点重合．设P（x，
| 8 |
| x |
解答：解：（1）∵由题意，可知OC=t，OD=t+3，
∴CD=OD-OC=t+3-t=3；
在直角△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=3，DE=OB=4，
∴CE=
=5；
∵AB=8，BE=OD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t．
故答案为3，5，5-t；
（2）如图，过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=
EG•FH．
∵O（0，0），A（8，4），
∴直线OA的解析式为y=
x，
当x=t+3时，y=
，∴G（t+3，
），
∴EG=DE-DG=4-
=
．
∵AE∥OC，
∴△AEF∽△OCF，
∴AE：OC=EF：CF，即（5-t）：t=EF：（5-EF），
解得EF=5-t，
∴FH=EF•sin∠CED=（5-t）×
=
，
∴△EFG的面积=
EG•FH=
×
×
=
，
∵△EFG的面积为
，
∴
=
，
解得t=1或9，
∵0＜t＜5，
∴t=1，
∴G（4，2）．
∵点G在函数y=
第一象限的图象上，
∴k=4×2=8．
故所求函数的解析式为y=
；
（3）当点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数y=
的图象上时，存在以A、C、Q、P为顶点的平行四边形，理由如下：
分两种情况：设P（x，
）．
①当四边形APCQ是平行四边形时，则AC与PQ互相平分，即AC的中点与PQ的中点重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴
，
解得
，
（舍去），
∴C（
-3，0），P（5+
，10-2
）．
②当四边形APQC是平行四边形时，则AQ与CP互相平分，即AQ的中点与CP的中点重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴
，
解得
（舍去），
（舍去）．
综上可知，所求C点的坐标为（
-3，0），P点的坐标为（5+
，10-2
）．
∴CD=OD-OC=t+3-t=3；
在直角△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=3，DE=OB=4，
∴CE=
| CD2+DE2 |
∵AB=8，BE=OD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t．
故答案为3，5，5-t；
（2）如图，过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=| 1 |
| 2 |
∵O（0，0），A（8，4），
∴直线OA的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
当x=t+3时，y=
| t+3 |
| 2 |
| t+3 |
| 2 |
∴EG=DE-DG=4-
| t+3 |
| 2 |
| 5-t |
| 2 |
∵AE∥OC，
∴△AEF∽△OCF，
∴AE：OC=EF：CF，即（5-t）：t=EF：（5-EF），
解得EF=5-t，
∴FH=EF•sin∠CED=（5-t）×
| 3 |
| 5 |
| 3(5-t) |
| 5 |
∴△EFG的面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5-t |
| 2 |
| 3(5-t) |
| 5 |
| 3(5-t)2 |
| 20 |
∵△EFG的面积为
| 12 |
| 5 |
∴
| 3(5-t)2 |
| 20 |
| 12 |
| 5 |
解得t=1或9，
∵0＜t＜5，
∴t=1，
∴G（4，2）．
∵点G在函数y=
| k |
| x |
∴k=4×2=8．
故所求函数的解析式为y=
| 8 |
| x |
（3）当点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数y=
| k |
| x |
分两种情况：设P（x，
| 8 |
| x |
①当四边形APCQ是平行四边形时，则AC与PQ互相平分，即AC的中点与PQ的中点重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴
|
解得
|
|
∴C（
| 21 |
| 21 |
| 21 |
②当四边形APQC是平行四边形时，则AQ与CP互相平分，即AQ的中点与CP的中点重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴
|
解得
|
|
综上可知，所求C点的坐标为（
| 21 |
| 21 |
| 21 |
点评：本题考查了反比例函数的综合题，其中涉及到的知识点有矩形的性质、函数解析式的求法、三角形的面积、平行四边形的性质等，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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