题目内容

【题目】如图,在△ABC中,D是BC的中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥DF交AB于点E,连接EG、EF.
(1)求证:BG=CF;
(2)求证:EG=EF;
(3)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.

【答案】
(1)证明:∵BG∥AC,

∴∠C=∠GBD,

∵D是BC的中点,

∴BD=DC,

在△CFD和△BGD中

∴△CFD≌△BGD,

∴BG=CF.


(2)证明:∵△CFD≌△BGD,

∴DG=DF,

∵DE⊥GF,

∴EG=EF


(3)BE+CF>EF,

证明:∵△CFD≌△BGD,

∴CF=BG,

在△BGE中,BG+BE>EG,

∵由(2)知:EF=EG,

∴BG+CF>EF


【解析】(1)求出∠C=∠GBD,BD=DC,根据ASA证出△CFD≌△BGD即可.(2)根据全等得出GD=DF,根据线段垂直平分线性质得出即可.(3)根据全等得出BG=CF,根据三角形三边关系定理求出即可.

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