题目内容
【题目】如图,在中,为直径,为弦.过延长线上一点,作于点,交于点,交于点,是的中点,连接,.
(1)判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若,,,求的长.
【答案】与相切;理由见解析;(2);
【解析】
(1)连接OC,如图,利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME,所以∠G=∠1,接着证明∠1+∠2=90°,从而得到∠OCM=90°,然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线;
(2)先证明∠G=∠A,再证明∠EMC=∠4,则可判定△EFC∽△ECM,利用相似比先计算出CE,再计算出EF,然后计算ME﹣EF即可.
(1)CM与⊙O相切.理由如下:
连接OC,如图,∵GD⊥AO于点D,∴∠G+∠GBD=90°.
∵AB为直径,∴∠ACB=90°.
∵M点为GE的中点,∴MC=MG=ME,∴∠G=∠1.
∵OB=OC,∴∠B=∠2,∴∠1+∠2=90°,∴∠OCM=90°,∴OC⊥CM,∴CM为⊙O的切线;
(2)∵∠1+∠3+∠4=90°,∠5+∠3+∠4=90°,∴∠1=∠5,而∠1=∠G,∠5=∠A,∴∠G=∠A.
∵∠4=2∠A,∴∠4=2∠G,而∠EMC=∠G+∠1=2∠G,∴∠EMC=∠4,而∠FEC=∠CEM,∴△EFC∽△ECM,∴==,即==,∴CE=4,EF=,∴MF=ME﹣EF=6﹣=.
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