题目内容

已知△ABC中,∠A=α,点D、E、F分别在BC、AB、AC上.
(1)如图1,若BE=BD,CD=CF,则∠EDF=______;
(2)如图2,若BD=DE,DC=DF,则∠EDF=______;
(3)如图3,若BD=CF,CD=BE,AB=AC,则∠EDF=______;
(2)如图4,若DE⊥AB,DF⊥BC,AB=AC,则∠EDF=______.
(1)∵∠A=α,
∴∠B+∠C=180°-α,
∵BE=BD,CD=CF,
∴∠BED=∠BDE,∠CFD=∠CDF,
∴∠BDE+∠CDF=
1
2
(180°-∠B)+
1
2
(180°-∠C)=180°-
1
2
(∠B+∠C)=90°+
1
2
α,
∴∠EDF=180°-(∠BDE+∠CDF)=90°-
1
2
α;

(2)∵∠A=α,
∴∠B+∠C=180°-α,
∵BD=DE,DC=DF,
∴∠BED=∠B,∠CFD=∠C,
∴∠BDE=180°-2∠B,∠CDF=180°-2∠C,
∴∠BDE=180°-(∠BED+∠CDF)=2(∠B+∠C)-180°=180°-2α;

(3)∵AB=AC,∠A=α,
∴∠B=∠C=90°-
1
2
α,
在△BDE和△CFD中,
BD=CF
∠B=∠C
BE=CD

∴△BDE≌△CFD(SAS),
∴∠BED=∠CDF,
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°,∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°,
∴∠EDF=∠B=90°-
1
2
α;

(4)∵AB=AC,∠A=α,
∴∠B=∠C=90°-
1
2
α,
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠BDE+∠EDF=90°,∠B+∠BDE=90°,
∴∠EDF=∠B=90°-
1
2
α.
故答案为:(1)90°-
1
2
α,(2)180°-2α,(3)90°-
1
2
α,(4)90°-
1
2
α.
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