Question

阅读材料：

如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：

如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B．

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；

(3)是否存在一点P，使S_△PAB＝S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设抛物线的解析式为：y1＝a(x－1)2＋4． 　　把A(3，0)代入解析式求得a＝－1． 　　所以y1＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3． 　　设直线AB的解析式为y2＝kx＋b． 　　由y1＝－x2＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)． 　　把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b中， 　　解得k＝－1，b＝3． 　　所以y2＝－x＋3． 　　(2)因为C点坐标为(1，4)， 　　所以当x＝1时，y1＝4，y2＝2． 　　所以CD＝4－2＝2． 　　S△CAB＝×3×2＝3． 　　(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h， 　　则h＝y1－y2＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x． 　　由S△PAB＝S△CAB， 　　得×3×(－x2＋3x)＝×3． 　　化简，得4x2－12x＋9＝0． 　　解得x＝． 　　将x＝代入y1＝－x2＋2x＋3中， 　　解得P点坐标为(，)．