Question

如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点P，且⊙O₁过点O₂，PB是⊙O₂的直径，A为⊙O₂上的点，连接AB，过O₁作O₁C⊥BA于C，连接CO₂．已知PA=

4

3

，PB=4．
（1）求证：BA是⊙O₁的切线；
（2）求∠BCO₂的正切值．

Answer 1

分析：（1）由题意得O₁C⊥BA，证得O₁C为半径即可；
（2）应把∠BCO₂进行转移，转移到已求得的线段的比值．

解答：（1）证明：∵PB是⊙O₂的直径，A为⊙O₂上的点，
∴∠PAB=90°．
又∵O₁C⊥BA，
∴△PAB∽△O₁CB．
∵PA=

4

3

，PB=4，
∴0₁C=1．
∴O₁C是⊙O₁的半径，
∵O₁C⊥BA于C，
∴BA是⊙O₁的切线．

（2）解：BC=

01B2-01C2

=

8

，
连接PC；
∵∠B=∠B，∠BCO₂=∠BPC，
∴△BPC∽△BCO₂，
∴O₂C：CP=BO₂：BC=2：

8

=tanBPC=tanBCO₂，
（在Rt△PCO₂中，tanBPC=O₂C：CP）
∴tanBCO₂=

2

2

．

点评：证得直线为切线的条件：到圆心的距离等于半径，与半径垂直；要求的三角函数值需转移到已知的线段的比．