Question

【题目】阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+……+22018+22019的值，采用以下方法：

设S=1+2+22+……+22018+22019①

则2S=2+22+……+22019+22020②

②-①得，2S-S=S=22020-1

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）1+2+22+……+29=；

（2）3+32+……+310=；

（3）求1+a+a2+……+an的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程).

Answer 1

【答案】（1）S=210-1；（2）；（3），见解析

【解析】

（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+210，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S=3+32+33+34+…+310，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．

解：（1）

令S=1+2+22+……+29①，则2S=2+22+……+210②，②-①得，2S-S=S=210﹣1，即S=210-1．

故答案为：210﹣1.

（2）

令S=3+32+……+310，①则3S=32+33+……+311，②

②-①得，3S﹣S=2S=311﹣3，

∴S=

故答案为：

（3）令S=1+a+a2+……+an，①则aS=a+a2+……+an+1，②

②-①得，aS﹣S=(a﹣1)S=an+1﹣1，

∴S=．即1+a+a2+……+an=．