题目内容
【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB= , PD= .
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.
【答案】
(1)8﹣2t; t
(2)解:不存在
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10
∵PD∥BC,
∴△APD∽△ACB,
∴ ,即 ,
∴AD= t,
∴BD=AB﹣AD=10﹣ t,
∵BQ∥DP,
∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,
即8﹣2t= ,解得:t= .
当t= 时,PD= = ,BD=10﹣ × =6,
∴DP≠BD,
∴PDBQ不能为菱形.
设点Q的速度为每秒v个单位长度,
则BQ=8﹣vt,PD= t,BD=10﹣ t,
要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,
当PD=BD时,即 t=10﹣ t,解得:t=
当PD=BQ,t= 时,即 =8﹣ ,解得:v=
当点Q的速度为每秒 个单位长度时,经过 秒,四边形PDBQ是菱形
(3)解:如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).
设直线M1M2的解析式为y=kx+b,
∴ ,
解得 ,
∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6.
∵点Q(0,2t),P(6﹣t,0)
∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标( ,t).
把x= 代入y=﹣2x+6得y=﹣2× +6=t,
∴点M3在直线M1M2上.
过点M2作M2N⊥x轴于点N,则M2N=4,M1N=2.
∴M1M2=2
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度
【解析】解:(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t, ∴QB=8﹣2t,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,
∴∠APD=90°,
∴tanA= = ,
∴PD= t.
故答案为:(1)8﹣2t, t.
(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t,由Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,即可得tanA= = ,则可求得QB与PD的值;(2)易得△APD∽△ACB,即可求得AD与BD的长,由BQ∥DP,可得当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,即可求得此时DP与BD的长,由DP≠BD,可判定PDBQ不能为菱形;然后设点Q的速度为每秒v个单位长度,由要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,列方程即可求得答案;(3)设E是AC的中点,连接ME.当t=4时,点Q与点B重合,运动停止.设此时PQ的中点为F,连接EF,由△PMN∽△PQC.利用相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
【题目】某检修小组从地出发,在东西向的马路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中七次行驶纪录如下.(单位:)
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 |
求收工时,检修小组在地的哪个方向?距离地多远?
在第几次纪录时距地最远?
若汽车行驶每千米耗油升,问从地出发,检修结束后再回到地共耗油多少升?