题目内容

【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cmBC=8cm.动点M从点B出发,在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动,且MGBC,运动时间为t秒(0<t),连接MN

(1)用含t的式子表示MG

(2)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小面积;

(3)若△BMN与△ABC相似,求t的值.

【答案】(1)MGt(2)t=2秒时,S四边形ACNM最小cm2(3)BMN与△ABC相似,t的值为秒或秒.

【解析】

(1)先利用勾股定理求出AB=10,再判断出BGM∽△BCA,得出比例式即可得出结论;

(2)先表示出MN,最后利用三角形的面积差即可建立函数关系式,即可得出结论;

(3)先表示出BMBN,再分两种情况,利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论.

解:(1)由运动知,BM=3t

RtABC中,AC=6,BC=8,

AB=10,

MGBC

∴∠MGB=90°=ACB

∵∠BB

∴△BGM∽△BCA

MGt

(2)由运动知,CN=2t

BNBCCN=8﹣2t

由(1)知,MGt

S四边形ACNMSABCSBNMBC×ACBN×MG=×8×6﹣(8﹣2t)×tt﹣2)2+

0<t

t=2秒时,S四边形ACNM最小cm2

(3)由(1)(2)知,BM=3tBN=8﹣2t

∵△BMNABC相似,

∴①当BMNBAC时,

t秒,

②当BMN∽△BCA时,

t秒,

即:BMNABC相似,t的值为秒或秒.

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