题目内容
【题目】如图1，抛物线
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：
与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点．
（1）求直线BC的解析式及点E的坐标；
（2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于
轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在轴上找一点M，在AE上找一点N，使得
值最小，请求出此时N点的坐标及的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点N，E，R，S为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；E（
，
）；（2）N（1，0）；最小值为
；
（3）S1（
，
），S2（
，
），S3（
，
），S4（，
）
【解析】
（1）首先求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，联立方程即可求出点E的坐标.
（2）由△PGF∽△OBC可得：
，则
，当PG取最大值时，△PFG周长最大，设
，进而表示出
,根据二次函数最值的求法即可求出点P的坐标，作点P关于
轴的对称点P′，将直线AE绕点E逆时针方向旋转
°得直线
，且满足
，过点
作直线的垂线交于点K，交直线AE于点N，此时
最小,求解即可.
（3）分四种情况，分别画出示意图，求解即可.
解：（1）由抛物线解析式得B（4，0），C（0，-2
），
设直线BC解析式为：
，代入B、C坐得：
，
∴
，
，
∴BC解析式为：
，
联立
，
解得
；
（2）由△PGF∽△OBC可得：，
∴，
∴当PG取最大值时，△PFG周长最大，
设，
∴
，
∴
，
∵对称轴为直线a=2，开口向下，
∴当
时，PG取得最大值，即△PFG周长最大，此时P（2，），
作点P关于轴的对称点P′（2，-），
将直线AE绕点E逆时针方向旋转°得直线，且满足，
过点作直线的垂线交于点K，交直线AE于点N，
此时最小，
∴直线解析式为
，
直线
的解析式为
，
∴N点坐标为（1，0），
K点坐标为
，
∴
；
（3）
，
，
，
．
灵星计算小达人系列答案
孟建平错题本系列答案【题目】某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
x（万元） | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | … |
y | 1 | 1.275 | 1.5 | 1.675 | 1.8 | … |
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？
（3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
