Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：连接OM，OC，

∵OB=OC，且∠ABC=30°，

∴∠BCO=∠ABC=30°，

∵∠AOC为△BOC的外角，

∴∠AOC=2∠ABC=60°，

∵MA，MC分别为圆O的切线，

∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，

在Rt△AOM和Rt△COM中，

，

∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），

∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°，

在Rt△AOM中，OA= AB=1，∠AOM=30°，

∴tan30°= ，即 = ，

解得：AM= ．

所以答案是： ．

【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．