题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°，得到△FEC
（1）猜想AE与BF有何关系，说明理由．
（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？
【答案】（1）AE∥BF，AE=BF（平行四边形的对边平行且相等）；
（2）S四边形ABFE=12cm2；
（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．
【解析】
试题分析：（1）由△ABC绕点C顺时针旋转180°可知：AC=CF，BC=CE，四边形ABFE为平行四边形，于是得到结论；
（2）由于AC是△ABE的BE边上中线，于是得到S△ABE=2S△ABC=6，同理S△BEF=2S△CEF=6，即可得到结论；
（3）要判断四边形ABFE为矩形，从对角线来看，要求AF=BE，又AF与BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC为等边三角形，∠ACB=60°．
试题解析：（1）AE∥BF，AE=BF．
理由是：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴△ABC≌△FEC，
∴AB=FE（全等三角形的对应边相等），
∠ABC=∠FEC（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥FE（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABFE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AE∥BF，AE=BF（平行四边形的对边平行且相等）；
（2）由（1）得四边形ABFE为平行四边形，
∴AC=CF，BC=CE，
∴根据等底同高得到S△ABC=S△ACE=S△BCF=S△CEF=3，
S四边形ABFE=4S△ABC=12cm2；
（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．
理由是：AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=60°，
∴∠ACE=120°．
又BC=CE，AC=CF，
∴∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠BAE=90°，同理可证其余三个角也为直角．
∴四边形ABFE为矩形．
