Question

如图，直线l₁：y=kx+b平行于直线y=x-1，且与直线l₂：y=mx+

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2

相交于点P（-1，0）．
（1）求直线l₁、l₂的解析式；
（2）直线l₁与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₁处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₁处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…
照此规律运动，动点C依次经过点B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
①求点B₁，B₂，A₁，A₂的坐标；
②请你通过归纳得出点A_n、B_n的坐标；并求当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长？

Answer 1

分析：（1）根据直线l₁：y=kx+b平行于直线y=x-1，求得k=1，再由与直线l₂：y=mx+

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2

相交于点P（-1，0），分别求出b和m的值．
（2）由直线l₁的解析式，求出A点的坐标，从而求出B₁点的坐标，依此类推再求得A₁、B₂、A₂的值，从而得到A_n、B_n，进而求出点C运动的总路径的长．

解答：解：（1）∵y=kx+b平行于直线y=x-1，
∴y=x+b
∵过P（-1，0），
∴-1+b=0，
∴b=1
∴直线l₁的解析式为y=x+1；（1分）
∵点P（-1，0）在直线l₂上，
∴-m+

1

2

=0；
∴m=

1

2

；
∴直线l₂的解析式为y=

1

2

x+

1

2

；（2分）

（2）①A点坐标为（0，1），
则B₁点的纵坐标为1，设B₁（x₁，1），
∴

1

2

x1+

1

2

=1；
∴x₁=1；
∴B₁点的坐标为（1，1）；（3分）
则A₁点的横坐标为1，设A₁（1，y₁）
∴y₁=1+1=2；
∴A₁点的坐标为（1，2），即（2¹-1，2¹）；（4分）
同理，可得B₂（3，2），A₂（3，4），即（2²-1，2²）；（6分）
②经过归纳得A_n（2ⁿ-1，2ⁿ），B_n（2ⁿ-1，2^n-1）；（7分）
当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长为A_n点的横纵坐标之和再减去1，
即2ⁿ-1+2ⁿ-1=2ⁿ⁺¹-2．（8分）

点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据点的坐标求出点与点的距离是解题的基础．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．